边缘提取

描述信号突变

对信号求导， $x$ 方向上，有

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x+\epsilon,y) - f(x,y)}{\epsilon}$

可以用差分来近似替代

$\begin{aligned} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} &\approx \frac{f(x+1,y) - f(x,y)}{1}\\ &=f(x+1,y)-f(x,y) \end{aligned}$

从而可以化为卷积的操作，卷积模板为： $\begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}$

同理， $y$ 方向上的模板为 $\begin{bmatrix} -1\\ 1 \end{bmatrix}$ 或 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

也可以定义为 $f(x+1,y) - f(x-1,y)$ ，这样卷积模板就变成了 $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

图像的梯度 $\nabla f = \big[ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \big]$

梯度方向，指向信号变化最大的方向。方向通常与边的方向垂直。

$\Vert \nabla f \Vert$ 称为梯度幅值（Gradient Magnitude）

几种典型算子

Prewitt算子

$M_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad M_y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

拿 $x$ 方向来看，相比于 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}$ ，好处是将上面和下面的点一起加入比较，减少噪声造成的影响。

import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread('img_set/miku.jpg')

# Prewitt算子
prewittx = np.array([[-1, 0, 1],
                    [-1, 0, 1],
                    [-1, 0, 1]])

prewitty = np.array([[1, 1, 1],
                    [0, 0, 0],
                    [-1, -1, -1]])

dst1 = cv2.filter2D(img, -1, prewittx)
dst2 = cv2.filter2D(img, -1, prewitty)

cv2.imshow('original', img)
cv2.imshow('convx', dst1)
cv2.imshow('convy', dst2)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

Soble算子

$M_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad M_y = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$

Sobel算子相当于在提取边缘之前，先对图像做了一次高斯滤波，然后再提取边缘。这样对噪声的敏感程度会更低一些。

$M_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

# Soble算子
soblex = np.array([[-1, 0, 1],
                    [-2, 0, 2],
                    [-1, 0, 1]])

sobley = np.array([[1, 2, 1],
                   [0, 0, 0],
                   [-1, -2, -1]])

dst3 = cv2.filter2D(img, -1, prewittx)
dst4 = cv2.filter2D(img, -1, prewitty)

cv2.imshow('soblex', dst3)
cv2.imshow('sobley', dst4)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

Roberts算子

$M_x = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\\ \end{bmatrix} \qquad M_y = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ \end{bmatrix}$

衡量的是斜对角方向的差异值。

# Roberts算子
robertsx = np.array([[0, 1],
                     [-1, 0]])

robertsy = np.array([[1, 0],
                     [0, -1]])

dst5 = cv2.filter2D(img, -1, robertsx)
dst6 = cv2.filter2D(img, -1, robertsy)

cv2.imshow('robertsx', dst5)
cv2.imshow('robertsy', dst6)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()